Une approche comparative de la modélisation de la volatilité, au sein de la classe des modèles Volterra Stein-Stein — volatilité gaussienne pondérée par un noyau de mémoire, directement simulable, et pricing par Monte-Carlo.
Un arc complet : on part d'un problème concret, on mène l'enquête, et la boucle se referme sur ce même problème.
Un desk doit coter une option dont le payoff dépend de la moyenne du sous-jacent — pas du seul prix final $S_T$ :
Produit sur mesure : contrairement à un call vanille, il n'est pas coté sur un marché liquide. Comment lui attribuer un prix ?
Sous $dS_t = r\,S_t\,dt + \sigma\,S_t\,dW_t$, le call a une forme fermée :
Pour une vanille, on l'inverse en volatilité implicite — $C_{BS}(\sigma_{iv})=C_{\text{marché}}$, solution unique (la véga est $>0$).
BS suppose $\sigma$ constante — démenti par le smile. On s'en sert quand même comme traducteur (prix ⇄ vol implicite), dans cette démarche :
Le caractère rough se résume à un paramètre, $H$. Faites-le varier : à gauche il se noie dans le bruit, à droite il façonne le skew.
On n'observe que le gris (vol réalisée bruitée) ; la vraie volatilité (rouge) est masquée. Sa régularité fine — donc $H$ — se noie dans le bruit.
Le skew est directement coté et relié à $H$ par $\mathcal S(T)\propto T^{\,H-1/2}$ : faire varier $H$ déforme nettement la courbe.
⇒ Le même $H$ est illisible à gauche, net à droite : on calibre sur le skew.
Structure par terme moyenne de l'ATM skew du SPX, sur des données de marché entre 2012 et 2023. Pour chaque maturité $T$, un seul nombre : le $|\text{skew}|$ ATM moyen (négatif en réalité sur les indices actions, §3.1).
ATM skew = pente du smile à la monnaie, suivie en maturité : $\;T \mapsto \partial_k\sigma_{iv}(T,k)\big|_{k=0}$.
⇒ $H$ apparent : 0.23 → 0.10 selon la fenêtre — l'exposant n'est pas constant (crossover). On calibre des noyaux (§4), on ne lit pas une seule pente.
| Noyau $K(u)$ | Forme du skew $S(T)$ | Quand $T\to0$ |
|---|---|---|
| $e^{-\lambda u}$ · exp | $\dfrac{c}{T}\!\left(1-\dfrac{1-e^{-\lambda T}}{\lambda T}\right)$ | $\to \tfrac{c\lambda}{2}$ — borné (markovien) |
| $\sum_i c_i e^{-\lambda_i u}$ · 2-exp | $\sum_i S_{\exp}(T;c_i,\lambda_i)$ | borné (markovien multi) |
| $(u+\varepsilon)^{H-\frac12}$ · shifted | $\sim c\,T^{\,H-\frac12}\ (T\gg\varepsilon)$ | fini : $K(0)=\varepsilon^{H-\frac12}<\infty$ |
| $u^{H-\frac12}$ · frac | $c\,T^{\,\beta},\ \beta=H-\tfrac12$ | $\to+\infty$ — explose (rough) |
Avant tout modèle : on ajuste les formes $S(T)$ directement au skew (curve_fit), sur deux fenêtres — court terme et gamme complète.
| Forme | RMSE | paramètres optimaux |
|---|---|---|
| 2-exp mark. | 0.0080 | c₁ 0.221, λ₁ 11.6 · c₂ 0.0065, λ₂ 154 |
| shifted rough r. | 0.0094 | c 0.714, b −0.700 |
| exp mark. | 0.0168 | c 0.192, λ 15.8 |
| frac rough | 0.0282 | c 0.531, b −0.257 (H 0.24) |
| Forme | RMSE | paramètres optimaux |
|---|---|---|
| 2-exp mark. | 0.0079 | c₁ 0.488, λ₁ 2.28 · c₂ 0.0605, λ₂ 35.1 |
| shifted rough r. | 0.0110 | c 0.717, b −0.685 |
| frac rough | 0.0599 | c 0.407, b −0.341 (H 0.16) |
| exp mark. | 0.0656 | c 0.296, λ 9.27 |
La volatilité est gaussienne, à retour à la moyenne, pondérée par un noyau de mémoire $K$ :
Stein-Stein = vol gaussienne (OU) ; Volterra = le noyau de convolution (mémoire, non-markovien). Les 4 formes calibrées plus haut sont le skew engendré par ces noyaux.
Le choix de $K$ balaie un spectre continu :
Le skew qu'on calibre est une conséquence de la dynamique de σ. Voici le pipeline — et où agit chaque ingrédient.
Couple le bruit de vol au prix ⇒ crée le skew (effet de levier) : $dW^S=\rho\,dW+\sqrt{1-\rho^2}\,dW^\perp$. Le paramètre clé qu'on calibre.
Variance marginale exacte (forme close $\int K^2$, tous noyaux) — le rough sans approximation.
On calibre maintenant le vrai modèle Volterra Stein-Stein : skew simulé par le moteur Monte-Carlo ci-dessus, $\rho$ libre, classement par BIC.
| Noyau | Nature | RMSE | $H$ | BIC | paramètres calibrés |
|---|---|---|---|---|---|
| 2-exp gagne | mark. 2 fac. | 0.0091 | — | −60.2 | κ₁ 39.5, ν₁ 0.384 · κ₂ 1.03, ν₂ 0.314 · ρ −0.98 |
| Shifted | rough rég. | 0.0188 | 0.07 | −49.0 | ν 0.186 · ρ −0.999 |
| Fractionnaire | rough | 0.0202 | 0.36 | −47.5 | ν 0.36 · ρ −0.861 |
| Exp (1 fac.) | mark. 1 fac. | 0.0478 | — | −28.5 | κ 0.343 · ν 0.696 · ρ −0.815 |
Recalibrés conjointement (même vol ATM ≈ 20 % et skew SPX), les modèles sont indiscernables sur les vanilles. Toute divergence sur l'exotique est un pur risque de modèle.
| Payoff ($T=1$, ATM) | Dispersion* |
|---|---|
| Européenne (vanille) | 0.2 % |
| Asiatique (moyenne) | 0.3 % |
| Forward-start $T/2$ | 0.5 % |
| Barrière Up&Out 130 | 2.2 % |
* (max−min)/moyenne entre les 3 modèles adéquats (2exp / frac / shifted). Le 1-facteur exp, incapable du crossover, reste inadéquat même recalibré.
Markovien (2exp), rough (frac) et rough régularisé (shifted) reproduisent tous le skew. $H$ n'est pas fixé. Seul le 1-facteur échoue — pour une raison structurelle (pas de crossover).
À calibration jointe identique, les modèles divergent sur les payoffs path-dépendants — l'écart, payoff-dépendant, est la seule trace observable de la dynamique.
Rough ou markovien ? La question est mal posée.
Le débat se réduit au choix du noyau — un objet calibrable, pas une vérité dogmatique. Ce qui compte : la volatilité gaussienne, directement simulable, qui rend le Monte-Carlo praticable quel que soit le régime.